Памяти М.А. Красносельского

papa.gif

(27.04.1920 --13.02.1997)

13 февраля 1997 года ушел из жизни выдающийся математик Марк Александрович Красносельский.

М.А.Красносельский родился 27 апреля 1920 года на Украине в г.Староконстантинове. Его отец -- Александр Яковлевич, работал нженером- строителем в Азоврыбтресте. Мать -- Фанни Моисеевна, преподавала русский язык в средней школе. В семье Красносельских было два сына. Старший Иосиф впоследствии стал известным инженером-металлургом, одним из основателей и руководителей Московского завода специальных сплавов. Младший Марк выбрал профессию математика.

В 1932 году семья Красносельских переезжает в Бердянск. В 1938 году Марк Александрович оканчивает среднюю школу и поступает на  физико - математический факультет Киевского университета. В связи с начавшейся войной Киевский университет в 1941г. эвакуируют в Казахстан, где он стал называться Объединенным украинским университетом. В 1942г. М.А.Красносельский заканчивает Объединенный украинский университет и затем четыре года служит в Советской Армии: преподает в Рязанском артиллерийском училище, эвакуированном в военные годы в г.Талгар Алма-Атинской области. В 1946г. Марк Александрович демобилизовался в звании лейтенанта и в августе этого года переезжает в Киев. Здесь он несколько месяцев работает преподавателем начертательной геометрии Киевского автодорожного института, а затем работает младшим научным сотрудником в Институте математики Украинской Академии Наук.

В Киеве в первые послевоенные годы М.А.Красносельский попадает в обстановку бурной научной жизни. Он слушает лекции и участвует в семинарах выдающихся ученых, среди которых Н.Н.Боголюбов, А.Н.Колмогоров, М.Г.Крейн, Б.В.Гнеденко, М.А.Лаврентьев, А.Ю.Ишлинский, Н.В.Ефимов, А.Г.Курош, В.Е.Лошкарев и другие.

В 1948 году М.А.Красносельский защищает кандидатскую диссертацию по теории расширения эрмитовых операторов, а в 1950 году -- докторскую диссертацию по топологическим методам нелинейного анализа.

В 1953 году М.А.Красносельский переезжает в Воронеж, где на протяжении последующих 15 лет он возглавляет кафедру функционального анализа на физико - математическом, а в дальнейшем на математико-механическом факультете Воронежского университета, и где начинает работать его семинар по нелинейному анализу, известный далеко за пределами Воронежа. Воронежский период научной деятельности М.А.Красносельского чрезвычайно плодотворен. Круг его научных интересов непрерывно расширяется и охватывает многие главы современной математики. М.А.Красносельский открывает ряд научных направлений, дальнейшее развитие которых создало основы современного нелинейного анализа. Он читает на факультете ряд основных и специальных курсов, руководит семинарами.

В 1968 году М.А.Красносельский переезжает из Воронежа в Москву и поступает на работу в Институт проблем управления Академии наук СССР, который в те годы назывался Институтом автоматики и телемеханики. Здесь М.А.Красносельский руководит лабораторией ``Математических методов анализа сложных систем''. Специфика тематики Института проблем управления находит отражение в прикладной направленности ряда направлений московского периода научной деятельности М.А.Красносельского (теория управления, математические модели гистерезиса и т.д.).

В 1990 году М.А.Красносельский переходит на работу в Институт проблем передачи информации Академии наук СССР. Здесь, как и в Институте проблем управления, первоклассные результаты М.А.Красносельского в абстрактных математических направлениях перемежаются с работами прикладной направленности (динамика систем с гистерезисом, импульсные рассинхронизованные системы, системы с неполными коррекциями и др.).

За свою более чем полувековую научную деятельность М.А.Красносельский написал более трехсот научных работ и 14 монографий. Ниже кратко описываются основные направления его исследований.

В связи с классическими проблемами фон Неймана М.А.Красносельский построил общую теорию расширений эрмитовых операторов с неплотной областью определения. Им доказаны теоремы об инвариантности дефектных чисел неэрмитовых операторов; установлена неожиданная связь проблемы инвариантности с теорией категорий Люстерника -- Шнирельмана; предложены (совместно с М.Г.Крейном) новые признаки инвариантности нетерова индекса.

Марку Александровичу принадлежат одни из первых работ о функциональных свойствах дробных степеней самосопряженных операторов; установленные теоремы затем были распространены (совместно с П.Е.Соболевским) на несамосопряженные операторы в негильбертовых пространствах. Метод дробных степеней в настоящее время широко применяется при изучении различных краевых задач математической физики, задач гидродинамики и др.

В большом цикле работ М.А.Красносельского совместно с П.П.Забрейко, Е.А.Лифшицем, Ю.В.Покорным, А.В.Соболевым, В.Я.Стеценко и др. в новых направлениях развивается теория М.Г.Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т.д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики (типа задач о размножении нейтронов).

Метод дробных степеней операторов и теорема М.А.Красносельского об интерполяции свойства полной непрерывности послужили одним из отправных пунктов для ряда работ по теории интерполяции.

На протяжении многих лет М.А.Красносельский совместно с Я.Б.Рутицким, П.П.Забрейко и др. изучал свойства интегральных операторов в различных функциональных пространствах. Он предложил различные признаки непрерывности и полной непрерывности, дифференцируемости на всем пространстве и в отдельных точках, вогнутости и выпуклости и т.д. интегральных операторов и операторов суперпозиции, обнаружил (совместно с А.В.Покровским) неожиданные свойства разрывных интегральных операторов. Система доказанных теорем составляет стройную теорию, которая нашла разнообразные приложения при исследовании различных интегральных уравнений.

Марк Александрович обнаружил, что удобным аппаратом для исследования нтегральных уравнений с сильными (типа экспоненциальных) нелинейностями являются пространства Орлича. В связи с этим теория пространств Орлича была подвергнута М.А.Красносельским и Я.Б.Рутицким коренной перестройке, были выделены и изучены специальные классы выпуклых функций, обнаружены специальные свойства операторов в этих пространствах.

Идущие от Биркгофа, Келлога, Лере, Шаудера, Тихонова, Немыцкого и др. топологические методы нелинейного анализа были направлены в основном на доказательство теорем существования. В работах М.А.Красносельского топологические методы становятся универсальным методом получения ответов на самые различные качественные вопросы: об оценках числа решений, о структуре множества решений и условиях связности этого множества, о сходимости приближенных методов типа галеркинских, о ветвлении и бифуркации решений нелинейных задач и т.д. Результаты Марка Александровича в этой области широко известны и широко применяются.

М.А.Красносельский совместно с П.П.Забрейко, И.А.Бахтиным, В.В.Стрыгиным, Э.М.Мухамадиевым, Е.А.Лифшицом и др. предлагает новые общие принципы разрешимости нелинейных уравнений: принцип односторонних оценок, принцип растяжений и сжатий конусов, принцип капли, первые теоремы о неподвижных точках монотонных операторов, объединение принципа Шаудера с принципом сжатых отображений (послужившее одним из источников бурно развивающейся в настоящее время теории уплотняющих операторов), принцип частичного обращения и др. Отправляясь от известной работы П.С.Урысова по интегральным уравнениям, М.А.Красносельский с учениками развивает богатую многочисленными тонкими фактами теорию уравнений с вогнутыми операторами; эта теория нашла приложения при исследовании различных краевых задач, в теории колебаний, в исследовании устойчивости, в моделях рынка, при анализе процессов в атомных реакторах и т.д.

Много усилий приложил Марк Александрович к разработке методов эффективного вычисления различных топологических характеристик отображений в бесконечномерных пространствах. Он совместно с П.П.Забрейко, Е.А.Лифшицом, В.В.Стрыгиным, Н.А.Бобылевым и др. предлагает новые теоремы о периодических отображениях и о специальных покрытиях сфер, алгоритм вычисления индекса особой точки в вырожденных случаях, принципы родственности и инвариантности вращения (связывающие характеристики различных уравнений, порожденных одной и той же задачей) и т.п. Возможность фактического вычисления топологических характеристик превращает общие методы нелинейного анализа в эффективное орудие анализа различных конкретных задач.

М.А.Красносельский поставил и для ряда ситуаций решил проблему устойчивости решений вариационных задач по отношению к широким классам возмущений. Для этого им была введена, изучена и в ряде случаев вычислена новая характеристика -- род множеств. Развитый аппарат применяется многими авторами.

В последние годы М.А.Красносельский совместно с Н.А.Бобылевым, А.М.Дементьевой, В.М.Красносельским и Э.М.Мухамадиевым предложил общий метод исследования вырожденных экстремалей. В применении, например, к анализу вырожденной экстремали классической задачи Эйлера метод требует отыскания первого отличного от нуля числа в некоторой диаграмме. Метод нашел различные приложения. М.А.Красносельскому принадлежит серия теорем о применимости вариационных схем в общем нелинейном анализе.

Широкую известность и большие приложения (в гидродинамике, при изучении форм потери устойчивости упругих систем, в проблемах автоколебаний и др.) нашли предложенные М.А.Красносельским качественные методы исследования критических и бифуркационных значений параметров, использующие весьма ограниченную информацию об изучаемом уравнении. Например, для анализа бифуркационных значений параметров во многих случаях достаточно знать лишь свойства линеаризованных в нуле или на бесконечности уравнений. Качественные методы позволили обнаруживать семейства нетривиальных решений, изучать спектр нелинейных задач и т.д.

Для анализа ветвления решений общих нелинейных операторных уравнений М.А.Красносельский (совместно с П.П.Забрейко) развил метод простых решений, предложил асимптотические их представления, обнаружил естественные связи между методами Ляпунова, Шмидта, Некрасова.

Отдельно отметим предложенный Марком Александровичем метод функционализации параметра, позволяющий освобождаться от параметров в нелинейных задачах. Этот метод нашел приложения в различных задачах. В частности, он позволил получить далеко идущие обобщения известной теоремы Хопфа о рождении автоколебательных режимов из состояния равновесия.

М.А.Красносельскому принадлежат различные признаки единственности, нелокальной продолжимости, устойчивости, корректности, диссипативности, разрешимости и т.д. задачи Коши и разнообразных краевых задач. Им (совместно с С.Г.Крейном и П.Е.Соболевским) получены первые общие теоремы о разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в функциональных пространствах. Марк Александрович предложил и развил совместно с А.И.Перовым, В.В.Стрыгиным, Н.А.Бобылевым, Э.М.Мухамадиевым метод направляющих потенциалов для исследования периодических колебаний и ограниченных режимов в различных нелинейных системах.

М.А.Красносельский совместно с В.Ш.Бурдом и Ю.С.Колесовым развил принципиально новые методы анализа нелинейных почти периодических колебаний с приложениями к теории маятников, задачам авторегулирования и др. Он (совместно с С.Г.Крейном) предложил новый подход к обоснованию основных теорем метода Боголюбова -- Крылова усреднения; указал новые применения метода усреднения к теории бифуркаций и другим задачам. Им совместно с А.В.Покровским предложен оригинальный подход к исследованию абсолютной устойчивости; этот подход требует лишь анализа единственности решений некоторых явно выписываемых уравнений; он позволил изучить абсолютную устойчивость ряда систем со многими нелинейными звеньями. М.А.Красносельский совместно с Н.А.Бобылевым предложил новые методы исследования систем Ляпунова.

В ряде работ М.А.Красносельского (частью совместно с Я.Б.Рутицким, В.А.Чечиком и др.) изучается общая теория приближенных методов, даются обоснования применимости методов Галеркина, Галеркина -- Петрова, Ритца к нелинейным задачам, предлагаются схемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т.д. Марк Александрович разработал новые методы получения оценок (важных для анализа быстроты сходимости итерационных процедур) спектральных радиусов линейных операторов, предложил новые варианты метода Зейделя -- Некрасова и др. М.А.Красносельский совместно с С.Г.Крейном разработал метод минимальных невязок решения линейных задач, которые получил широкое применение; совместно с И.В.Емелиным и Н.П.Панских разработал спурт-метод, основанный на идеях управления системами переменной структуры; совместно с И.В.Емелиным изучил метод останова итерационных процедур, который регуляризует широкий класс некорректных задач; совместно с А.В.Покровским разработал и изучил метод челночных итераций, приспособленный для приближенного решения различных краевых задач и исследования колебаний в системах переменной структуры (когда соответствующие операторы разрывны).

М.А.Красносельский совместно с Н.А.Бобылевым и Н.А.Кузнецовым детально исследовал важный в инженерной практике метод гармонического баланса. Описан диапазон применимости этого метода, доказаны теоремы сходимости, получены оценки скорости сходимости метода гармонического баланса.

М.А.Красносельский развил новые подходы к исследованию динамики систем управления с нелинейными звеньями, характеристики которых разрывны. Серия доказанных тонких теорем позволяет устанавливать у уравнений с разрывными операторами наличие корректных по отношению к различным возмущениям решений, оценивать их число, находить их с высокой точностью, учитывать влияние неизбежных малых шумов в системах и т.д. Развитый метод применим к исследованию систем переменной структуры, к анализу проблем типа задачи М.А.Лаврентьева об отрывных течениях и др.

В середине семидесятых годов М.А.Красносельский предложил обширную программу исследования систем с гистерезисом и привлек к ее выполнению большую группу учеников (А.В.Покровский, В.С.Козякин, П.П.Забрейко, А.Ф.Клепцын,Е.А.Лифшиц, Н.И.Грачев, Д.И.Рачинский, В.В.Черноруцкий и др.). Эта программа основана на введении специальных математических операций, отвечающих различным феноменологическим моделям гистерезиса в теории пластичности, магнетизме и др. Реализация предложенной программы потребовала решения ряда необычных задач: были выделены и изучены виброустойчивые уравнения; была изучена возможность выделения отвечающих индивидуальным винеровским процессам индивидуальных траекторий у стохастических дифференциальных уравнений; была исследована роль для стохастических уравнений условий Фробениуса полной интегрируемости и т.д. В построенную математическую теорию уложились практически все классические модели гистерезиса. Она позволила редуцировать феноменологические модели гистерезиса (конструктивного, магнитного, пластического и др.) в удобные для использования математические модели.

В последние годы М.А.Красносельский совместно с Е.А.Асариным, А.Ф.Клепцыным, В.С.Козякиным и Н.А.Кузнецовым активно занимался построением теории рассинхронизованных систем. Им предложены методы качественного анализа рассинхронизованных систем, разработан аппарат исследования устойчивости таких систем, найдены приложения к задачам инженерной практики.

Конечно, на страницах этой статьи невозможно достаточно полно изложить научные результаты М.А.Красносельского. Приведенный выше обзор весьма краток и касается лишь основных направлений научной деятельности М.А.Красносельского.

Научная деятельность М.А.Красносельского всегда тесно переплеталась с его педагогической деятельностью. С первых дней научной работы проявились любовь и умение М.А.Красносельского привлекать в науку талантливую молодежь. Полученный за годы контактов и совместной работы с М.А.Красносельским запас научного энтузиазма и оптимизма вдохновляет учеников Марка Александровича на многие годы. Десятки учеников М.А.Красносельского имеют ученые степени; более 30 из них -- доктора наук, профессора со своими научными направлениями и научными школами.

До самых последних дней Марк Александрович активно работал и был полон энергии и творческих планов.

"Автоматика и Телемеханика", 1997

Е.А.Асарин, И.А.Бахтин, Н.А.Бобылев, В.А.Бондаренко, В.Ш.Бурд, Е.А.Горин, С.В.Емельянов, П.П.Забрейко, Л.А.Иванов, В.С.Козякин, А.М.Красносельский, Н.А.Кузнецов, А.Б.Куржанский, А.Ю.Левин, Э.М.Мухамадиев, А.И.Перов, Ю.В.Покорный, А.В.Покровский, Д.И.Рачинский, Б.И.Садовский, В.В.Стрыгин, Я.З.Цыпкин, В.В.Черноруцкий