Титульная страница
Информация об издательстве
Книги, вышедшие в свет
Инфоpмация об автоpах
План выпyска книг


Библиотека СТУДЕHТА-МАТЕМАТИКА
Выпуск 3


В. А. Васильев

ВВЕДЕHИЕ В ТОПОЛОГИЮ


Пpедисловие


      Эта книжка возникла из записок курса лекций, прочитанных в 1996 г. для студентов 1-2 курсов Независимого Московского Университета.
      Топология - очень красивая наука. Она осуществляет связь геометрии с алгеброй. Ее идеи и образы играют ключевую роль практически во всей современной математике - в дифференциальных уравнениях, механике, комплексном анализе, алгебраической геометрии, функциональном анализе, математической и квантовой физике, теории представлений, и даже - в удивительно преображенном виде - в теории чисел, комбинаторике и теории сложности вычислений.
      В последнее время большинство новых идей в математике возникают в топологии из геометрических образов, а затем формализуются и переносятся в более алгебраические области. Поэтому владение основами топологии необходимо любому специалисту-математику. К сожалению, топология до сих пор не входит в число базисных предметов, изучаемых на математических факультетах большинства вузов. Добросовестные преподаватели других дисциплин по необходимости вводят ее фрагменты в свои курсы, но студент, изучающий формулу Стокса в анализе, принцип аргумента и римановы поверхности в ТФКП, принцип сжимающих отображений и индекс особой точки векторного поля в дифференциальных уравнениях, эйлерову характеристику в комбинаторике, теоремы об устойчивых режимах в механике и теории управления, теоремы о неподвижной точке в математической экономике, не всегда понимает, что каждый раз занимается по сути одним и тем же. Изучать же основы этой науки как правило приходится самостоятельно. (Исключительным событием, по-видимому оказавшим очень большое влияние на мое поколение московских математиков и, безусловно, на меня самого, был спецкурс Д.Б.Фукса, прочитанный им на мех-мате МГУ в 1976-77 гг.)
      В течение нескольких лет (в конце 80-х - начале 90-х гг.) я читал неформальные вводные курсы топологии для младшекурсников и старшеклассников математических школ. Я очень благодарен руководству Независимого московского университета, предложившему мне прочесть этот курс в качестве одного из обязательных для студентов 2-3 семестров обучения.
      Я также чрезвычайно признателен В.В.Прасолову, осуществившему запись и первоначальную обработку лекций, и директору издательства ФАЗИС В.Б.Филиппову за инициативу и всестороннюю поддержку этого издания.
      Происхождение из курса лекций наложило отпечаток на изложение материала. В книге не очень много скрупулезных доказательств: я старался дать как можно больше иллюстраций и показать, что в действительности происходит в топологии, не всегда останавливаясь на том, почему это происходит. Как правило, приводятся только доказательства (или их идеи), сами по себе поучительные и имеющие важные обобщения.
      В заключение приведу список рекомендуемой литературы.
  1. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М.: Мир, 1972.
  2. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. - М.: Мир, 1983.
  3. Прасолов В.В. Наглядная топология. - МЦНМО, 1995.
  4. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. - М.: Наука, 1989.
  5. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. - М.: Наука, 1977.
  6. Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств. - М.: Наука, 1985.
  7. Манкрс Дж. Элементарная дифференциальная топология. Приложение к книге [10].
  8. Милнор Дж. Теория Морса. - М.: Мир, 1965.
  9. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. - М.: Мир, 1969.
  10. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. - М.: Мир, 1971.
  11. Новиков С.П. Топология. - Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 12. - М.: ВИНИТИ, 1986.
      Книги [1-3] важны для наработки тополого-геометрической интуиции и рекомендуются для предварительного чтения.
      Главы 1, 2 книги [4] покрывают (с полными доказательствами) материал, относящийся к гомотопическим группам, гомотопической теории клеточных пространств и основам теории гомологии и когомологий. Введение в теорию гладких многообразии см. в [7], теория Морса прекрасно изложена в [8, 9]. Книга [5] рекомендуется с осторожностью: читать ее подряд для начинающего очень трудно. Однако она является почти исчерпывающим справочником и толковым словарем по всем вопросам, изложенным в части 1 нашей книги, лишь изредка приходится обращаться еще и к [6]. Книга [10] - один из лучших в мире учебников алгебраической топологии, и я надеюсь, что мой читатель окажется подготовленным к ее чтению. Наконец, [11] является прекрасным и, из известных мне, самым широким обзором современного состояния топологической науки.



Веpнyться назад