Титульная страница
Информация об издательстве
Книги, вышедшие в свет
Инфоpмация об автоpах
План выпyска книг


Библиотека СТУДЕHТА-МАТЕМАТИКА
Выпуск 4


П. Саpнак

МОДУЛЯРHЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИЛОЖЕHИЯ


Пpедисловие pедактоpа


      Перед вами небольшая и не совсем обычная монография: в ней идет речь о серьезных достижениях, полученных в последние десятилетия в нескольких весьма далеких друг от друга трудных задачах, и в то же время эта книга с успехом может читаться студентами 3-го курса математического факультета почти без обращения к другим источникам.
      Книга написана известным американским математиком, профессором Принстонского университета Питером Сарнаком, активно работающим в нескольких математических областях; ему принадлежат многие из излагаемых результатов.
      Знакомясь впервые с предметом и читая оглавление или предисловие автора, читатель должен удивиться тому, что столь разные темы, - такие, как сугубо комбинаторная задача построения графа-расширителя (expander'a), теоретико-множественная задача о конечно-аддитивных ортогонально-инвариантных мерах, классическая теоретико-числовая задача об асимптотике числа целых точек на сфере (проблема Линийка), - тесно связаны между собой и, после некоторых редукций, решаются едиными средствами, а именно, с помощью теории модулярных форм.
      Эта теория, у истоков которой стоят К.Гаусс, К.-Г.Якоби и другие классики, в равной мере относится и к теории чисел, и к алгебре, м к теории представлений. Ее центральная роль во многих фундаментальных проблемах алгебры, арифметики, анализа хорошо известна, - читатель книги убедится в этом. Как подчеркивает автор, с аналитической точки зрения наиболее существенная часть всех доказательств при решении разнообразных задач, представленных в книге, сводится к оценке возрастания коэффициентов Фурье модулярных форм.
      Изучая по этой книге начала теории модулярных форм, читатель попутно узнает, что такое группы со свойством (Т) - свойством Каждана, каковы связи комбинаторных свойств графа и спектра его матрицы смежности, в чем сложность построения графов с большим обхватом и с большим хроматическим числом, в чем преуспели П.Эрдёш, Г.Маргулис, А.Любоцкий, Р.Филлипс, П.Сарнак; читатель также приблизится к пониманию знаменитых гипотез Рамануджана и прогресса, достигнутого в их доказательстве П.Делинем, узнает, как влияет на ответ в задаче об инвариантной мере на сфере ее размерность и пространство функций, в котором инвариантное среднее определяется, и многое другое.
      Говоря более конкретно о темах книги, мне особенно приятно начать с задачи Ю.В.Линника. О его работах автор книги пишет с должным и вполне заслуженным пиететом. Выдающийся математик Юрий Владимирович Линник (1915-1972), известный в основном своими работами по аналитической теории чисел, теории вероятностей и математической статистике, в течение всей своей жизни активно интересовался и занимался классическими задачами о представлении квадратичных тернарных форм и о распределении целых точек на сфере и алгебраических многообразиях. Эти его работы принадлежат к числу замечательных достижений теории чисел. Сам Ю.В.Линник в письме В.А.Рохлину (около 1960 г.) писал: "Работа о сфере есть моя самая лучшая работа".
      Итог этих исследований подведен в книге [Л1]. В ней глубоко исследована проблема асимптотической равномерной распределенности проекции на единичную сферу множества целочисленных векторов, лежащих на сфере, радиус которой допустим (т.е. множество целочисленных векторов на ней непусто) и стремится к бесконечности. Некоторая незаконченность этого замечательного исследования заключалась в том, что оценка остатка зависела, вообще говоря, от дополнительного параметра (о чем Ю.В.Линник писал: "... его наличие, по-видимому, объясняется недостатками метода, а не существом дела ... "). Для некоторых прогрессий этот параметр роли не играл, а в целом вопрос решался положительно лишь в рамках стандартных гипотез о нулях рядов Дирихле или расширенной гипотезы Римана. В этом смысле результат о равномерной распределенности оставался условным. В развитии подхода Линника к этой задаче участвовали его ученики, в особенности А.В.Малышев. В данной книге приводится безусловное решение (см. гл. 4). Это решение требует более точных оценок коэффициентов Фурье модулярных форм полуцелого веса, эти оценки были получены X.Яванцем; позже была найдена связь с результатами Н.В.Кузнецова о суммах Клостермана - см. гл. 1 и 4. Общая же гипотеза в этом направлении, называемая в книге гипотезой Линника-Сельберга (см. 1.5.6) и имеющая много других следствий в теории чисел, остается пока недоказанной.
      Очень важно отметить, что подход Ю.В.Линника базировался на новой по тем временам идее, которая выражена и в названии его книги, а именно - на эргодическом или, более осторожно, динамическом аспекте проблемы: грубо говоря, строилась некоторая конечная группа или полугруппа ("поток", по выражению Ю.В.), часть орбит которой и состоит из целых точек на сфере, а затем доказывалась "эргодическая теорема" для этой орбиты. Ситуация в данной задаче отлична и намного конкретнее, чем в стандартных эргодических постановках, тем не менее, Линник думал не только о равномерном распределении, т.е., так сказать, о законе больших чисел, но и о других "эргодических" аналогах в данной задаче - о перемешивании, спектре и т.п. и обсуждал эти, оставшиеся и сейчас неразработанными, проблемы со специалистами. Его подход современен и сегодня, а его возможности, по-видимому, далеки от исчерпания. Читатель, заинтересовавшийся этим направлением, может обратиться к упомянутой книге Линника и к тому его "Избранных трудов" [Л2д], в котором помещен обзор А.В.Малышева по эргодическому методу Линника, и работам его учеников и последователей (см., например, сборник [КФд], посвященный 80-й годовщине со дня его рождения и литературу в нем).
      Здесь уместно также отметить, что идея привлечения геометрических и групповых соображений в теоретико-числовых задачах характерна для представителей Петербугской Математической Школы - А.Н.Коркина, Е.И.Золотарева, Г.Ф.Вороного, А. А.Маркова (ст.), и позже, начиная с 20-х годов, Б.Н.Делоне, В.А.Тартаковского (первый учитель Ю.В.) и, наконец, Б.А.Венкова, на работы которого Ю.В. ссылается при определении "потока".
      Методы Линника и методы настоящей книги различны, но его интуиция была безошибочной - он предсказал будущие пути возможного решения этой и других подобных задач. Вот как цитирует один из его учеников советы, данные ему Ю.В. (см. [КФд]), по поводу "недоступных современным аналитическим методам" задач теории чисел: "... учите алгебраические методы ... Вы должны изучить три основные темы: модулярные формы и операторы Гекке, теорию соответствий Дойринга для алгебраических кривых и теорию редукции для алгебраических многообразии по модулю простых чисел."
      Вернемся к содержанию книги. Выше упоминалась задача об ортогонально инвариантном среднем на сфере в пространстве ограниченных измеримых функций (задача, поставленная польским математиком Руэевичем). Сама по себе постановка следует традиции тех лет (20-е годы) и копирует задачи Хаусдорфа-Банаха-Тарского и, особенно, фон Неймана об инвариантном среднем на группах. Учитывая большую активность в последние десятилетия в теории аменабельных групп, приведшую к решению многих проблем, следует признать несколько странным, что эта задача оставалась вне поля зрения большинства специалистов: в ее общей формулировке, годной для произвольных недискретных локально-компактных групп, она, насколько извест- но, не рассматривалась. Оказалось, что для групп S0(n) ее решение весьма нетривиально и было получено сравнительно недавно в работах Д.Сулливана, Г.Маргулиса, В.Дринфельда с использованием серьезных средств теории алгебраических групп. Однако в данной книге приводится новое, более элементарное решение, основанное на совершенно явном и интересном самом по себе построении так называемых е-хороших множеств на сфере, использующем модулярные формы, и полученное автором этой книги совместно с А.Любоцким и Р. Филлипсом.
      Возможно, наиболее элементарная и эффектная часть книги - глава 3, посвященная графам Рамануджана и экспандерам. Тематика, связанная со взаимоотношениями спектров графов и их комбинаторных свойств, в последние годы занимает специалистов по алгебре (спектры графов Кэли), комбинторике (ассоциативные схемы и их инварианты), теории вероятностей (случайные блуждания на группах и графах, скорость сходимости к стационарному распределению), геометрии (дискретный оператор Лапласа и аналоги изопериметрических неравенств), теории кодирования и даже, как выяснилось недавно, теории операторов (тензорные произведения). Тем интереснее будет узнать, как строятся нетривиальные примеры графов с помощью групп матриц над конечным полем. Можно надеяться, что множество открытых вопросов в этой области привлечет новых исследователей.
      Книга написана сжато и тщательно, автор нашел нужную пропорцию между глубиной подхода и доступностью изложения для неискушенного читателя. За пределами книги осталось множество вопросов как о модулярных формах - темы необъятной, - так и о затронутых приложениях. Но поставленную задачу - написать книгу о приложениях теории модулярных форм - автор решил на мой взгляд с блеском. В книгах Ж.-П.Серра, Г.Шимуры, Д.Мамфорда, С.Ленга и др. можно найти дальнейшие сведения о модулярных формах. Стоит еще упомянуть недавнюю книгу А.Любоцкого "Discrete Groups Expanding Graphs and Invariant Measures", Birkhauser Verlag, 1994. По содержанию она очень близка к книге П. Сарнака, но характер изложения и акценты в ней несколько иные.
      Некоторые опечатки и неточности переводчик исправлял в основном без оговорок; добавлен ряд подстрочных примечаний редактора и переводчика, носящих вспомогательный характер. Автор книги также прислал специально для русского перевода свои комментарии и информацию о последних результатах.
      Наконец, нельзя не сказать о роли нового научного издательства ФАЗИС и его руководителя В.Б.Филиппова, благодаря которым издание математических книг и переводов (в частности, и данного) в России приобретает новое дыхание.

А. Вершик          
Санкт-Петербург,          
сентябрь 1997 г.          


      Пpедисловие автоpа

      Пpедисловие автоpа к pyсскомy пеpеводy



Веpнyться назад