Титульная страница
Информация об издательстве
Книги, вышедшие в свет
Инфоpмация об автоpах
План выпyска книг


Библиотека СТУДЕHТА-МАТЕМАТИКА
Выпуск 5


А. Кэссон, С. Блейлеp

ТЕОРИЯ АВТОМОРФИЗМОВ ПОВЕРХHОСТЕЙ ПО HИЛЬСЕHУ И ТЕРСТОHУ


Пpедисловие pедактоpа пеpевода


      Книга Э.Кэссона и С.Блейлера посвящена автоморфизмам (т.е. гомеоморфизмам, сохраняющим ориентацию) замкнутых ориентируемых поверхностей. Точнее, речь идет о классификации автоморфизмов с точностью до изотопии (т.е. непрерывной деформации в классе всех автоморфизмов) и о предъявлении "хороших" представителей для различных классов изотопии. Случай поверхности рода 0 (сферы) тривиален - все автоморфизмы изотопны друг другу, так что наиболее естественный представитель единственного класса изотопии - тождественное отображение. Случай поверхности рода 1 (тора) не столь прост, но изучен уже давно; он рассмотрен во введении. Основное содержание книги относится к поверхностям рода, большего 1.
      Эта тематика является классической - ею успешно занимались в первой трети XX в. (см. ниже). Около 20 лет назад она обрела "вторую молодость" в работах У.Тёрстона. В последующие годы интерес к теории Тёрстона только увеличился, что объясняется как ее внутренним богатством, так и связями с другими разделами математики, придающими ей общематематическое значение. (У самого Тёрстона интерес к этим вопросам возник в связи с трехмерной геометрией.) Данная книга является введением в теорию Тёрстона.
      Стоит остановиться на содержании этой книги в более широкой перспективе и на ее положении среди других публикаций родственного характера. Имеются три подхода к изучению автоморфизмов поверхностей, каждый из которых развился в целую теорию. Эти три теории имеют непустое (и достаточно содержательное) пересечение, в частности, одну и ту же классификацию автоморфизмов (точнее, классов их изотопии). В то же время у каждой из них есть своя специфика и свои преимущества. Все три теории позволяют получить информацию об алгебраических свойствах группы, элементами которой являются классы изотопии автоморфизмов, а групповая операция порождена композицией отображений (эта группа имеет три разных названия: группа классов отображений данной поверхности, группа гомеотопий последней, модулярная группа Тайхмюллера), но здесь более новые подходы определенно приводят к новым результатам.
      Первым возник относительно элементарный комбинаторный подход, систематически развивавшийся Я.Нильсеном, начиная с 20-х гг. (и еще ранее М.Деном; но говорят все-таки о теории Нильсена, ибо последнему принадлежит заслуга развертывания этого подхода в целую теорию и большинство наиболее значительных результатов). Помимо относительной простоты, достоинством этого подхода является более непосредственная связь с комбинаторной теорией групп, в развитие которой М.Ден и Я.Нильсен внесли заметный вклад. На русский язык переведена обстоятельная книга [16], посвященная теории Нильсена.
      Второй подход связан с квазиконформными отображениями и восходит к О.Тайхмюллеру, работы которого относятся к концу 30-х - началу 40-х гг. Они отчасти имели характер предварительных набросков. В конце 50-х - начале 60-х гг. Л.Альфорс и Л.Берс привели теорию в удовлетворительное состояние и затем существенно ее продвинули. Этот подход основан на использовании технически намного более сложного аналитического аппарата (недостатки первых работ Тайхмюллера во многом связаны с тем, что тогда этот аппарат еще не был достаточно развит). С другой стороны, непосредственная связь с комплексным анализом является достоинством второго подхода.
      Собственно, первоначально цель теории Тайхмюллера состояла в исследовании конформных структур на поверхностях, а отображения последних являлись вспомогательным средством. Однако после того как У.Тёрстон предложил в начале 70-х гг. свой подход к изучению автоморфизмов поверхностей, Л.Берс немедленно указал, что теория Тайхмюллера доставляет другой подход к тем же вопросам и что фактически ряд результатов Тёрстона явно или неявно содержится в ней. Тем самым теория Тайхмюллера была отчасти как бы переориентирована на исследование не только конформных структур (а также фуксовых и клейновых групп), но и автоморфизмов поверхностей.
      На русском языке имеются следующие изложения теории Тайхмюллера (в основном в ее первоначальной ориентации): [1-3, 13].
      Данная книга посвящена третьему подходу, предложенному У. Тёрстоном. Его специфическими особенностями являются ярко выраженная геометричность и связь с теорией динамических систем. Последняя стимулировала выделение так называемых псевдоаносовских гомеоморфизмов, доставляющих недостававших ранее "хороших" представителей большинства классов изотопии гомеоморфизмов поверхностей рода, большего 1. Хотя псевдоаносовские гомеоморфизмы фактически возникают и в теории Тайхмюллера, однако впервые явно заговорил о них только Тёрстон. Эти гомеоморфизмы все чаще начинают играть роль при исследовании различных вопросов за пределами теории Тёрстона, что вместе с некоторыми другими аспектами последней вызывает широкий интерес.
      До сих пор на русском языке имелось только краткое изложение теории Тёрстона, данное в статье [10]. Некоторые сведения имеются также в цитированной выше книге Абикофа [I], хотя в основном она посвящена другому подходу. В мировой же литературе, помимо данной книги, имеются еще две книги по теории Тёрстона: [FLP] и [32]. Кроме того, надо указать еще обзорную статью [Т] автора этой теории.
      В теории Тёрстона большую роль играют вспомогательные геометрические объекты трех типов: некоторые слоения с особенностями; геодезические ламинации; особого рода графы, называемые "железнодорожными путями". Интересно, что в трех книгах по теории Тёрстона во главу угла ставятся различные из этих объектов: в настоящей книге - ламинации, в книге [FLP] - слоения, у Пеннера и Харера [32] - железнодорожные пути. Так, что эти книги дополняют друг друга, начиная уже с принятой в них точки зрения. Изложение во всех трех книгах не предполагает наличия у читателя особых предварительных знаний, помимо стандартных университетских курсов и небольшого дополнительного знакомства с топологией и геометрией Лобачевского - знакомства, обычного для студентов с широкими интересами, особенно если последние включают топологию, ряд разделов геометрии или римановы поверхности и смежные вопросы теории функций комплексного переменного. В отношении же излагаемого материала сравнение этих книг приводит к следующим выводам.
      Книга Кэссона и Блейлера, значительно меньшая по объему, является только введением в предмет. Самые известные ключевые слова, относящиеся к теории Тёрстона (если не говорить о ее технических средствах) - это псевдоаносовские гомеоморфизмы, пространства Тайхмюллера и особого рода "перестройки" поверхностей, именуемые "землетрясениями" (их, впрочем, можно уже отнести к техническим средствам). Первые здесь рассматриваются, вторые - нет, из третьих упомянут, но не играет существенной роли частный случай - перестройки Дена. В теории Тёрстона проводится также исследование свойств псевдоаносовских гомеоморфизмов (оно в данной книге только начато, но описанное в ней построение соответствующих марковских разбиений создает хорошую основу для исследования многих из их свойств) и обсуждается вопрос (здесь совсем не затронутый), в какой степени специфические свойства псевдоаносовского гомеоморфизма f присущи другим гомеоморфизмам g из того же класса изотопии (пока что это изучено только применительно к периодическим точкам; также известно, что топологическая энтропия g не ниже, чем y f, см. [FLP, лекция 10] и [5]).
      В [FLP] (а также в статьях Иванова и Тёрстона) в той или иной степени затронуты также и другие вопросы теории Тёрстона. (О книге [32] было сказано выше.)
      Выбор для перевода книги Кэссона и Блейлера диктовался как соображениями объема (и, стало быть, требуемых средств), так и ее достоинствами в качестве первоначального введения в теорию Тёрстона. Авторы (т.е. прежде всего Э.Кэссон, на лекциях которого основана эта книга) хотели познакомить читателя с одним из основных вопросов теории Тёрстона (классификацией гомеоморфизмов методами этой теории и псевдоаносовскими представителями соответствующих классов), изучение которого, помимо непосредственной пользы, подготовит заинтересованного читателя к ознакомлению с другими вопросами этой теории. Они выбрали удачный путь к своей цели и отобрали минимум необходимого для этого материала. Уместно заметить, что важный вопрос о действии автоморфизмов на геодезические ламинации рассмотрен здесь иначе, чем в первых работах Тёрстона, с использованием предложенных позднее соображений, делающих изложение более коротким и изящным.
      Вместе с тем следует предупредить читателя, что книга, представляющая собой обработанные записи лекций, имеет следы своего происхождения, не столь благоприятные для читателя. В лекциях такого объема было бы невозможно с одинаковой полнотой и подробностью изложить все детали. В одном случае (теорема 4.9) авторы прямо указывают, что они приводят только набросок доказательства. Но и в других случаях изложение местами бывает схематичным. Авторы могут пропустить некое рассу- ждение, сослаться на чертеж, относящийся к частному случаю, и т.д. Вероятно, достаточно подробный и полностью свободный от пробелов текст был бы раза в два длиннее. При переводе я кое-где добавил некоторые пояснения в виде подстрочных примечаний или комментариев в конце книги. В некоторых случаях сделаны небольшие изменения в самом тексте. Но все же полное восстановление пропущенных или недостаточно детализированных мест может потребовать определенного труда. Однако нигде не пропущены такие аргументы, которые специфичны для теории Тёрстона и восстановление которых требовало бы познаний в тех частях последней, что изложены далее или вообще не упоминаются в данной книге.
      Книга начинается с изложения некоторых сведений о гиперболической неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского), о соответствующих дискретных группах движений и о факторповерхностях. Формально здесь сказано все, что надо для дальнейшего, но порой сжато. Может быть, даже слишком сжато для первого ознакомления; это скорее напоминание тех из относящихся сюда более или менее известных (но, возможно, забытых читателем) вещей, которые понадобятся в дальнейшем. Авторы могли этим ограничиться, зная, что эти вещи являются довольно широко известными и что для них имеются хоро- шие изложения. (Таковые имеются и на русском языке, что надо иметь в виду читателю, у которого гл. 1 и 2 вызовут затруднения.) Пере- ходя (с гл. 3) собственно к теории Тёрстона, авторы уже не могли на это рассчитывать. Поэтому не надо опасаться, что если в самом начале "читателю предоставляется" самому проделать нечто довольно большое, какие же пробелы ему придется восполнять в дальнейшем? По существу, в этом отношении нарастания сложности не происходит.
      При переводе я несколько расширил и обновил литературные ссылки. Однако они и сейчас остаются весьма немногочисленными. В связи с этим обращаю внимание на уже упоминавшуюся статью Тёрстона [Т]. Она была написана в середине 70-х гг., но долго не публиковалась, а циркулировала и приобрела известность как препринт. Публикуя ее в 1988 г., Тёрстон добавил предисловие (где вкратце упомянул - только упомянул - некоторые новые результаты и (или) их авторов) и список литературы, содержащий почти 70 работ (из них примерно 20 посвящены смежным вопросам). Тёрстон предупреждает, что список не является исчерпывающим. Тем не менее включенные в него работы дают, по крайней мере, хорошее представление о состоянии значительной части предмета в 1988 г. К сожалению, более нового списка работ, который мог бы считаться как бы продолжением списка из [Т], я не видал.

Д.В.Аносов          
июнь, 1996          



Веpнyться назад